常说“数理不分家”，高考中的物理题经常需要用数学知识来解决，比如求极值问题。本文介绍常用的七种求解极值问题的方法，并探讨如何选取最简约的方法。 【例1】如图1所示电路中，电源电动势 V，内阻 ，外电阻 ， ，滑动变阻器总阻值为 。求：滑片P滑到什么位置时，电流表的示数有最值？最值是多少？
解析：设aP间的电阻为x，根据闭合电路欧姆定律，电流表的示数为： ，其中外电路的总电阻为：
只要研究R的变化情况，就可知道电流表的示数变化情况，下面用四种方法研究R的变化情况。
方法一：抛物线顶点坐标法
对 当 时，有 ，
可得 。
方法二：配方法
，
当 时，有 。
方法三：一元二次函数判别式法
由 ，有 ，
要使方程有解，需 ，
即 ， ，
得 ，即 。
方法四：均值定理法
对 ，当 ，即 时，有 。
根据以上四种方法求得的 ，可得电流表示数的最小值为： A。
【例2】光滑轨道如图2所示，水平部分AB与半圆部分BC相连，圆半径为R。在水平轨道上有一质量为m的小球，现给小球一水平向右的初速度 ，小球沿水平轨道运动，然后进入半圆轨道，再从半圆轨道的最高点C水平抛出，又落回水平轨道上。问：当半径R多大时，小球的落点与B点的间距最大？最大值是多少？
解析：由机械能守恒定律， ，
可得经最高点C水平抛出的速度为： ，
落点与B点的间距为： ，
对 ，
据抛物线顶点坐标法知，当半径为 时，小球落点与B点的间距有最大值，为 。
【例3】如图3所示，一四分之一圆弧凹槽放置在水平地面上，质量为m的小球从凹槽顶端A处由静止释放后沿光滑槽面下滑，小球下滑过程中凹槽始终保持静止状态。问：小球运动到何处时，地面对凹槽的摩擦力最大？最大值是多少？
解析：设凹槽半径为R，当小球运动到如图任意位置时的速度大小为 ，速度方向与竖直方向的夹角为 。根据机械能守恒定律，有
联立以上两式，得小球受到凹槽的支持力为 ，
其水平分量为 ，
根据平衡条件，地面对凹槽的静摩擦力方向水平向右，大小为 。
方法五：三角函数求极值
据三角函数的性质，当 ，即 时，地面对凹槽的静摩擦力最大，最大值为 。
【例4】如图4所示，质量为m的物体在力F作用下沿水平地面做匀速直线运动。物体与地面间的动摩擦因数为 ，力F斜向上与水平方向的夹角为 。求 多大时，力F有最小值？最小值是多少？
解析：由平衡条件，知
联立以上三式，可得 ，
式中， ，其中 ，
当 ，即 时，拉力F有最小值，为 。
【例5】A、B两人沿直线公路同时从甲地向乙地运动，A以 m/s的速度做匀速直线运动，B做初速度为零，加速度为 的匀加速直线运动。当B 与A在途中相遇后，即改做加速度为 的匀减速直线运动。求A、B两人在运动途中何时相距最远？最远间距是多少？
解析：
方法六：图象法求极值
作出A、B两人的 图像，如图5所示。分析图像可知，开始时B追赶A，当 时，B追上A，即B 与A在途中相遇。之后，B在前，A在后，两者间距变大。当 时，A、B的速度相等，间距最大，为图中阴影的面积大小，即
【例6】如图6所示，轻绳的一端固定在O点，另一端拴一小球。拉起小球使绳水平伸直，然后从A点无初速度的释放小球。小球从开始运动到绳竖直的过程中，试分析小球所受重力的瞬时功率的变化情况。
解析：小球在A点时，速度为零，所受重力的瞬时功率为零。到最低点B时，小球速度水平向左，重力竖直向下，两者方向垂直，由 ，其中 ，可知重力的瞬时功率也为零。那小球从A点到B点的过程中，重力的瞬时功率是怎样变化的？
设绳长为L，小球在任意位置C的速度大小为v，绳与水平方向的夹角为 ，据机械能守恒定律，有
重力的瞬时功率为 。
方法七：导数法
再设 ， ，则 ，对x求导，有 ，
当 ，即 时，z有最值。
由于 ， ，所以可不讨论 时z的最值情况。
在 范围内， ， 逐渐增大；在 范围内， ， 逐渐减小。当 ，即 时， 有最大值。
由以上分析可知，小球从A点到B点的过程中，重力的瞬时功率先变大后变小。
责任编辑 李婷婷