圆是特殊的椭圆，相比椭圆来说具有更多优美的性质．通过换元法可将椭圆“圆化”，从而把椭圆问题转化为关于圆的问题，使解题过程更简捷． 首先来看椭圆“圆化”的方法. 已知椭圆C的方程为：+=1（a>b>0），将x=aX，y=bY代入椭圆方程，则椭圆化为单位圆C′: X2+Y2=1，坐标系xOy内的任一点P（x，y）化为坐标系XOY内的点P′（X，Y）．我们可以先在坐标系XOY中利用圆的知识解决问题，再还原结果，即可得到答案．
椭圆“圆化”可以简化不少问题，如直线与椭圆的位置关系问题、椭圆的切线问题以及与弦中点有关的轨迹问题．
简化直线与椭圆的位置关系问题
例1 求直线Ax+By+C=0与椭圆+=1（a>b>0）有公共点的充要条件．
解：将x=aX，y=bY代入椭圆方程+=1，则椭圆化为单位圆X2+Y2=1，直线化为AaX+BbY+C=0.由直线与圆有公共点的充要条件≤1可得直线Ax+By+C=0与椭圆+=1（a>b>0）有公共点的充要条件为A2a2+B2b2≥C2．
点评：在解决直线与椭圆的位置关系问题时，通常联立直线方程与椭圆方程，得到一个一元二次方程，再利用判别式进行判断．而将椭圆“圆化”后，“利用二次方程的判别式判断直线与椭圆的位置关系”就转化为“根据圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断直线与圆的位置关系”，避免了烦琐的运算．
由以上解答易得出如下结论：已知直线Ax+By+C=0与椭圆+=1（a>b>0），则直线和椭圆相交的充要条件是A2a2+B2b2>C2，直线和椭圆相切的充要条件是A2a2+B2b2=C2，直线和椭圆相离的充要条件是A2a2+B2b2b>0），求在椭圆上一点P（x0，y0）的切线方程．
解：设x=aX，y=bY.则椭圆+=1化为单位圆X2+Y2=1，点P（x0，y0）化为P′，，于是原问题转化为求单位圆上一点P′处的切线方程.易知圆X2+Y2=1在点P′，的切线方程为+=1，又X=，Y=， ∴ 所求的切线方程为+=1．
点评：通过换元法将椭圆“圆化”，求椭圆的切线转化为求单位圆的切线．这种解法避免了联立直线方程与椭圆方程后再利用判别式求切线斜率的烦琐运算． 用类似的方法也可以求出过椭圆外一点的椭圆的切线方程．
简化与弦中点有关的轨迹问题
例3 过椭圆 +＝1内一点P（1，1）引动弦AB，求弦中点M的轨迹方程．
解：设M（x，y）. 根据换元法设x=4X，y=2Y，则椭圆+=1化为单位圆X2+Y2=1，点P（1，1）和M（x，y）化为P′，和M′（X，Y），动弦AB变换为A′B′，椭圆中心O变换为圆心O′. ∵ M′为A′B′的中点， ∴在单位圆X2+Y2=1中，O′M′⊥P′M′恒成立. 由此可得点M′（X，Y）的轨迹是以线段O′P′为直径的圆，圆心坐标为，，半径r=・O′P′=・=， ∴ 圆方程为X-2+Y-2=． ∵ X＝，Y＝， ∴ 点M的轨迹方程为-2+-2=，即x-2+y-2=．
点评：在椭圆“圆化”的过程中，点分线段的比例是不变的，比如原线段的中点变成了对应线段的中点．例3正是利用了中点不变的性质和圆的几何性质，实现了快捷求解．
总结：很多椭圆问题都可通过“圆化”来处理. 需要注意的是，虽然“圆化”的变换过程是一一映射的变换，但直线的倾斜角、角的大小、角平分线、线段的长度等元素在“圆化”后都会发生改变，同学们应留意这些变化，避免解题失误．
以下3个结论是椭圆+=1“圆化”时常见的变化关系，利用这些结论能更方便地解决更多的椭圆问题．
结论1：椭圆弦长AB与对应圆的弦长A′B′满足关系式A′B′＝AB（k为直线AB的斜率）；
结论2： 椭圆内三角形变换后仍为三角形，其面积为原来的，即S′＝S；
结论3： 椭圆内直线变换后仍为直线，其斜率为原来的，即k′＝k．
【练一练】
1． 已知椭圆C：x2+=1与直线l：y=2x+m相交于两点，求m的取值范围．
2． 已知椭圆C：+y2=1和直线l：x+y+m=0相交于A，B两点，若AB=，求m的值．
【参考答案】
1． 解： 设x=X，y=2Y，代入换元，则有单位圆C′：X2+Y2＝1，直线l′：2Y-2X-m＝0．由题意可知直线l′与圆C′有两个公共点， ∴ ＜1，解得ｍ∈（-2，2）．
2． 解： 设x=2X，y=Y，代入换元，则有单位圆C′：X2+Y2＝1，直线l′：2X+Y+m＝0． 在单位圆C′中，圆心O′（0，0）到A′B′的距离为d=，由勾股定理可得A′B′2=41-. 由题意可知AB的斜率k＝-1，又AB=，由正文结论1可得A′B′2＝41-=AB2=・2=，解得m=±1．