【三角变换的六大策略】 健康管理的六大策略

  三角函数公式多,解法灵活,在解题中经常由于方法选择不当,而钻入死胡同.事实上,如果能够学会灵活运用三角变换,换个角度思考问题,往往能豁然开朗,茅塞顿开.现介绍几种常用的三角变换策略,供同学们学习时参考.
  一、 变角
  在三角函数的化简、求值与证明中,已知条件与待求结论中往往出现较多的相异角,此时可根据角与角之间的和、差、倍、半、互余、互补的关系,运用角的变换,沟通条件与结论中角的差异,使问题获解.常见的角的变换有:单角化复角,倍角化复角,复角化复角.
  例1 化简:sin7°+cos15°sin8°cos7°-sin15°sin8°
  分析:将7°角,化为15°、8°角,和谐统一.
  解:原式=sin(15°-8°)+cos15°sin8°cos(15°-8°)-sin15°sin8°=sin15°cos8°cos15°cos8°=tan15°=2-3
  例2 已知8cos(2α+β)+5cosβ=0,求tan(α+β)・tanα的值.
  分析:观察出现的角2α+β,β,α+β,α可以发现条件角2α+β,β可以用结构角α+β,α的和与差表示.
  解:∵ 2α+β=(α+β)+α,β=(α+β)-α,∴ 8cos[(α+β)-α]+5cos[(α+β)-α]=0
  ∴ 13cos(α+β)cosα=3sin(α+β)sinα
  ∴ tan(α+β)・tanα=133
  二、 变名
  由于三角函数包括六种形式,因此在三角问题中经常不同名的三角函数,这时我们要从题目中所给的各函数间的关系入手,寻求统一函数名称的变换途径,正确选用变换公式,使问题得到快速的解决.变名的依据是同角三角函数的基本关系和诱导公式,切割化弦、化弦为切是对函数名称进行转化的最常见、最基本的方法.
  例3 已知tanα=-13,计算12sinαcosα+cos2α
  解:原式=sin2α+cos2α2sinαcosα+cos2α=tan2α+12tanα+1=19+1-23+1=103
  评注:将所求问题变换关于tanα式子,简洁明了,和谐统一.
  例4 化简:tan2x(sin2x+tanx・tanx2+cos2x)・1-tan2x1+tan2x
  解:原式=sin2xcos2x・1+sinxcosx・sinx2cosx2・1-sin2xcos2x1+sin2xcos2x=2sinx・cosxcos2x・cosx-x2cosx・cosx2・(cos2x-sin2x)=2sinx・cosxcos2x・cosx2cosx・cosx2・cos2x=2sinx
  三、 变常数
  对于题目中所给的常数,如1,22,32,3等,对照特殊角的三角函数值,将它们变为相应的三角函数,参与其他三角函数的运算,在解题中往往起着十分巧妙的作用.
  例5 化简:1-sin6α-cos6α1-sin4α-cos4α
  解:原式=(sin2α+cos2α)3-sin6α-cos6α(sin2α+cos2α)4-sin4α-cos4α=3sin2αcos2α(sin2α+cos2α)2sin2αcos2α=32
  评注:三角函数式化简中要对“1”灵活变换,常将“1”化为sin2α+cos2α,tan45°等
  四、 变次数
  若三角函数中各项幂的次数不同,或者解题需要,可通过升幂或降幂促成问题的解决,由cos2α=2cos2α-1=1-2sin2α,可得cos2α=1+cos2α2,sin2α=1-cos2α2常用来降幂,或者用上面公式将一次式化为二次式,便于进行因式分解.
  例6 已知3π4<α<π,tanα+1tanα=-103
  (1) 求tanα的值;
  (2) 求5sin2α2+8sinα2cosα2+11cos2α2-82sinα-π2的值
  解:(1) tanα=-13(过程略)
  (2) 原式=5(1-cosα)2+4sinα+11(1+cosα)2-8-2cosα=5-5cosα+8sinα+11+11cosα-16-22cosα=8sinα+6cosα-22cosα=8tanα+6-22=-526
  五、 变公式
  三角公式是三角变换的依据,我们经常正用公式,但有时也需要逆用和变用公式,以开拓解题思路,达到化难为易的目的.
  例7 求tan20°+tan40°+3tan20°・tan40°的值
  解:原式=tan60°(1-tan20°tan40°)+3tan20°tan40°=3
  评注:公式tan(α±β)=tanα±tanβ1�tanα・tanβ在解题中需灵活应用,经常变形为tanα±tanβ=tan(α±β)(1�tanα・tanβ)使用.
  六、 变结构
  在三角变换中,常常对条件、结论的结构施行调整,或重新分组,或移项,或变乘为除,或求差等,对有些特殊结构的三角函数式,根据题的特点,还可以通协定构造对偶式的方法求解.
  例8 化简:sin6°・sin42°・sin66°・sin78°
  解:原式=sin6°・cos48°・cos24°・cos12°=16cos6°・sin6°・cos24°・cos48°16cos6°=sin96°16cos6°=116
  评注:本题分子、分母同乘以16cos6°,从而在分子上连续逆向使用倍角公式,从而达到化多角为单角的目的.
  例9 求sin20°+cos280°+3sin20°・cos80°的值
  解:设原式=x,y=cos220°+sin280°+3�cos20°・sin80°
  则x+y=2+3sin100°=2+3sin80°(1)
  y-x=cos40°-cos160°+3sin60°=cos40°+cos20°+32
  =cos(30°+10°)+cos(30°-10°)+32=2cos30°cos10°+32=32+3sin80°(2)
  由(1)―(2)得x=14,故原式=14
  评注:本题配凑出“对偶式”,巧变形,方法相当灵活.