我们知道图形平移的特征是:平移后的图形的形状、大小都不发生变化.求解某些数学问题时,利用平移变换的这一特征,可以快速地解答问题.现举几个巧用平移变换解决问题的例子,供同学们学习时参考.
例1一个正方形的边长为20cm,上面横竖各有两道长方形黑条(如图1所示的阴影部分),黑条宽都是2cm,请问阴影部分的面积是多少?
分析:观察图形我们可以知道,要是直接求每条阴影部分的面积再相加的话,还要计算阴影重合的部分,非常麻烦.那么有没有简单的方法呢?我们可以考虑平移,把阴影部分平移到一起,再用大正方形的面积减去空白部分的面积,就可以得到阴影部分的面积了.
解:如图2所示,将两个竖黑条平移至左边,将两个横黑条平移至上边,这样阴影部分的面积不改变,而空白部分则变成了一个边长为16cm的正方形.空白部分的面积为256cm2,大正方形的面积为400cm2,故阴影部分的面积为400-256=144(cm2).
例2有一种叫“俄罗斯方块”的电脑游戏,游戏规则是这样的:通过平移等变换,使所给的各种各样的方块排满每一横行,每排满一行,便消去一行,得100分;同时排满2行,便消去2行,得200分;……依此类推.
假如现在电脑屏幕上显示的图形如图3所示,电脑给出的三个方块分别是甲、乙、丙,在只考虑平移的情况下,应如何平移甲、乙、丙三个方块,才能消去1行,得到100分?
解析:甲方块左移2小格,下移1小格;乙方块右移1小格,下移6小格;丙方块下移6小格,这样就能排满1行,得到100分了.
例3某医院用一个边长为1米的正方形材料制作一个红十字会的大型“十字”标志(如图4),在正方形的四个角上挖去四个相同的小正方形即制作而成,则这个“十字”标志的周长为_________米.
解析:将这个“十字”标志的水平线段向上平移或向下平移,正好组成大正方形水平的两条边;将这个“十字”标志的竖直线段向左或向右平移,正好可以组成大正方形竖直的两条边.这样这个“十字”标志的周长正好等于大正方形的周长,而这个大正方形的周长为4米,所以应填4.
例4如图5,点A、B 为水池两岸的两座村庄,为了测量两村庄之间的距离,请你设计一个测量方案,并说明你的理由.
解析:两村庄隔着水池,不能直接测量,那我们怎样才能测量出两村庄之间的距离呢?对,由平移的特征我们想到了平移.但该如何操作呢?我们可以过点A、B分别作直线AB的垂线AC、BD,垂足分别为A、B,在AC、BD上截取AE=BF,连接EF.
由AC⊥AB、BD⊥AB易知AC∥BD. 又AE=BF,所以可以把线段BF看作是由线段AE平移而得到的,于是线段EF=AB.所以只要测量出EF的长度,就可以知道两个村庄A、B之间的距离了.
点评:在具体操作时,关键是如何确定AC∥BD. 我们还可以过点A、B作正北(或其他特殊方向)方向的直线,这样也可以保证其平行性.