[演绎推理法] 归纳与演绎的经典例子

  所谓演绎推理(Deductive reasoning)或称演绎法,是指以一定的反映客观物理规律的理论知识为依据,从服从该知识的已知部分(即题目中的已知条件)出发,推知事物的未知部分(即未知答案)的一种思维方法.演绎推理法是一种常规解题方法,也是物理解题中运用最多的方法之一.
  在演绎法中,已知条件、未知答案和联接二者的物理规律(或更广义的普遍性知识)是构成演绎推理过程的三个要素,挖掘、筛选相关的(有用的)已知条件,识别、确认所欲寻求的和可能得到的答案,搜寻、尝试和构建条件与答案之间的知识联接,是演绎法最基本的三个思维操作步骤.即便是最简单的题目,也莫不如此,如下例:
  例1 一定值电阻两端的电压为2V时,通过的电流为0.2A,则此电阻的阻值为
   Ω;当两端的电压变化为4V时,通过的电流为 A,此时导体的电阻为 Ω.
  解析 电压为2V时,
  已知条件:U=2V,I=0.2A
  求解答案:R=?
  联接知识:欧姆定律
  求解过程:由欧姆定律I=■,变形得R=■=■=10Ω.
  电压变为4V时,
  已知条件:U=4V,R=10Ω
  求解答案:I=?
  联接知识:欧姆定律、电阻定律
  求解过程:由欧姆定律,得
  I=■=■=0.4A.
  本题设置了两个情景,每一情景中都包含三个要素:已知条件、未知答案、联接知识.其中阻值R在第一情景中为求解的答案,在第二情景中为隐含的已知条件,这也是多情景问题中常见的情况.
  当然,不是所有的题目都如例1那样,提供的条件明显、完备且无干扰,所求的答案一目了然,联接两者的知识简单、易得.命题者常常会在上述三方面设置一些障碍,来考查学生知识的掌握程度和能力的养成状况.下面我们首先来见识一下,在已知条件方面,常见的设置障碍的方式.
  一、设置隐含条件,使已知好似不足
  例2 一个中学生对地面的压强大约是( ).
  A.10Pa B.100Pa
  C.1000Pa D.10000Pa
  解析 本题的解题思路有两个:一是根据p=■,相应挖掘出两个隐含条件:中学生的质量约为50kg,中学生双脚底面积约为5dm2,进而计算出正确答案为C.
  二是利用本题是一估算题,允许有一定的误差,故将中学生视作一个规则的柱体,进而应用p=ρhg来计算,为此需要相应地挖掘出人体的密度约等于水的密度,即1×103kg/m3,中学生的身高约为1.6m,进而计算出压强约为1.6×103Pa,最后确定正确答案为C.
  乍看起来,上题几乎没有提供已知条件,但仔细研究就会发现条件其实全部隐含于本题所描述的物理情景中,要求学生能根据题意进行联想、估计,努力挖掘相关知识,根据常识,填补适当的条件和数据,来弥补题中已知条件的“缺口”.这类从相关常识中挖掘隐含条件的习题常见于估算题.
  例3 小名同学把掉到地面上的物理课本捡起来放回到课桌上,根据你平时的观察和了解,估算出小名同学捡回物理课本书的过程中,手克服课本的重力所做的功大约为 .(选填序号:①0.015J;②0.15J;③1.5J;④15J)
  解析 本题需挖掘、补充两个隐含条件:课本的重力(约5N)、课桌的高度(约1m),估算出所做的功大约为5J,进而选择与之最接近的③1.5J.
  例4 家里一壶水烧开,大约需要的热量为( ).
  A.几千焦 B.几万焦
  C.几十万焦 D.几百万焦
  解析 本题需补充的隐含条件有:一壶水的质量(约3kg)、通常情况下水的初温与沸点(分别约为20℃、100℃)和水的比热容(4.2×103J/kg・℃),从而估算出所需要的热量约为105J,进而选择与之最接近的C选项.
  例5 家用白炽灯接在照明电路中,正常发光时,通过灯丝的电流最接近的值是( ).
  A.20A B.2A C.200mA D.2mA
  解析 本题需补充的隐含条件有:照明电路电压220V,家用白炽灯的额定功率(约40W),由此估算出额定电流(约0.2A),进而选出与之最接近的C选项.
  除了将条件隐藏在题设情景所关联的常识中,常见的还有将条件隐含在一些约定俗成的关键词中的情况.
  例6 小明发现教室中的几盏灯同时亮、同时熄灭,由一个开关控制,则关于这几盏灯的连接方式,下列说法正确的是( ).
  A.肯定是串联
  B.肯定是并联
  C.可能是串联、可能是并联
  D.条件不足,无法判断
  解析 不少学生常常只会注意题中“关于灯工作现象的描述”――“同时亮、同时熄灭、由同一个开关控制”这一明显条件,而忽略“教室中”这一隐含条件,从而错误地选择选项,其实为了避免“因一个电器的损坏而导致其他电器无法工作”的情况,在教室、家庭等实际的电路中,各用电器都是并联的.
  隐含相关条件的常见的“关键性词语”有:“光滑”隐含不考虑摩擦力;“家庭电路”隐含着电器连接方式为并联;“正常工作”隐含着工作电压为额定电压;“轻质”隐含着不计物体的重力……
  例7 例如图1所示,小灯泡L标有“6V 3.6W”,滑动变阻器R最大值为10Ω,当滑片P移到a端,小灯泡正常发光.试求:
  
  
  
  
  
  (1)电源电压和小灯泡电阻.
  (2)P移到b端时,闭合S,你还能求出哪些物理量?
  解析 此题中“小灯泡正常发光”就是一个隐含条件,它意味着小灯泡两端的实际电压为6V,对应的实际功率为3.6W;同时这还是一道结论开放的电学综合题.
  当滑片移到a端时,L正常发光,此时电源电压U=6V,由P=U2/R得小灯泡的电阻为
  RL=■=■=10Ω.
  当滑片P滑到b端时,
  电路中的总电阻R总=Rab+RL=20Ω,
  电路中的总电流I总=■=■=0.3A,
  电路中消耗的总功率
  P总=U总I总=6V×0.3A=1.8W,
  电灯L消耗的功率PL=I总2RL=(0.3A)2
  ×10Ω=0.9W,
  滑动变阻器消耗的电功率P滑=P总-PL
  =0.9W,
  滑动变阻器两端电压Uab=I总Rab=0.3A×10Ω=3V.
  设置隐含条件除了应用上述的两种方式(隐含于常识中、隐含于关键性词语中)外,常见的还有将条件隐含于题干中的表格、图像、图线中.
  例8 为了研究物质的某种特性,某小组的同学先做如下实验:他们在甲、乙两只完全相同的烧杯中分别放入100g和200g的温水,实验时,让它们自然冷却,并利用温度计和计时器测量水的温度随时间的变化情况,记录数据分别如表一、表二所示.(设甲、乙两杯水每分钟放出的热量相等)
  表一 m1=100g
  
  
  
  表二 m2=200g
  
  
  
  (1)分析比较表一和表二的数据可知,实验时,两杯水所处环境的温度是 的.(选填“相同”或“不同”)
  (2)分析比较表一(或表二)中第一行和第三行的数据及相关条件,可得出的初步结论是 .
  (3)分析比较表一和表二的第三列、第四列、第五列等数据及相关条件,可得出的初步结论是 .
  (4)进一步综合分析比较表一和表二中的数据及相关条件,还可得出的初步结论是 .
  解析 此题的主要条件隐含于两个实验数据记录表格中,重点考查学生提取、分析、处理数据和归纳概括实验结论的能力.在第―、二题中,要能从表一和表二所给出的很多数据中提取你所需要的数据,即两表中的最后一列数据,从而得两杯水所处环境的温度分别是30℃和28℃.在第二小题和第三小题中,要用所学习的一些物理知识正确分析实验数据,从而概括出实验结论.例如:由于甲、乙两杯水每分钟放出的热量相等,所以表一(或表二)第一行中的时间数据,其实就是反映了水放出热量的多少,从而提取出“经历4分钟放出的热量就是经历8分钟时所放出热量的一半”等条件.
  答案 (1)不同 (2)相同质量的水放出的热量的多少与降低的温度成正比 (3)水(同种物质)降低的温度相同时,质量大的放出的热量多 (4)水放出热量的多少与水的质量、下降的温度有关
  例9 在“探究物质质量与体积的关系”实验中,某小组同学分别用甲、乙两种不同的固态物质做实验,且甲、乙都是长方体形状.实验时,他们用刻度尺和天平分别测出它们的体积和质量,记录数据如表一、表二所示.
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  (1)分析比较实验序号1、2与3(或4、5与6)的数据及相关条件,可得出的初步结论是 .
  (2)分析比较实验序号 的数据及相关条件,可得出的初步结论是:相同体积的不同物质,它们的质量是不相同的.
  (3)(a)分析比较表一或表三中的数据及相关条件,可初步得出 .
  (b)分析比较表一和表二中的数据及相关条件,可初步得出 .
  (4)为了进一步研究,他们又通过加热方式使甲、乙物质都变为液态,再用量筒和天平分别测出它们的体积和质量,记录数据如表三、表四所示.
  进一步综合分析比较表一和表三(或表二和表四)的数据及实验现象,可初步得出 .
  解析 本题的已知条件也集中隐含于表格之中,通过系统地、有条理地从实验数据表格中提取有关信息,并结合相关条件进行比较,来得出实验结论.
  (1)同种物质的质量与体积成正比.
  (2)1与4(或2与5、或3与6).
  (3)(a)同种物质,它的质量与体积的比值是一个确定值.
  (b)不同种物质,它们的质量与体积的比值是不相同的.
  (4)处于不同物态的同种物质,它的质量与体积的比值是不相同的.
  例10 为了测定某辆轿车在平直公路上匀速行驶的速度,小宇同学拍摄了在同一底片上多次曝光的照片(如下图照片,标尺刻度均匀).如果每隔1s拍摄(曝光)一次,轿车车身总长4.5m,那么这辆轿车的速度约为( ).
  
  
  A.19.5m/s
  B.10.5m/s
  C.30m/s
  D.15m/s
  解析 本题是图像信息题.部分已知条件隐含于图像中,这类题首先要通过阅读、观察,提取对解题有帮助的信息.观察图像可知,汽车每次的曝光相距为10个标尺,而轿车车身长为三个标尺;由轿车车身长为4.5m可得1个标尺长为1.5m,由此可见两次曝光的间隔中(即1s内)轿车运动的距离为1.5×10=15m,不难算出轿车的速度为v=■=■=15(m/s),答案为D.
  例11 如图3所示,某校初三同学正在进行升旗仪式.该校旗杆的高度约为( ).
  
  
  
  
  
  
  A.4m B.7m C.10m D.12m
  解析 本题初看似乎无法下手,题中没有任何已知条件,而对于要估算的旗杆长度,学生平时往往又未加注意.其实解题所需的条件是隐含的,一是隐含在图像中的,仔细观察,从图中不难发现,旗杆长度约是学生身高的3到4倍,用刻度尺测量可得,约是学生身高的3.5倍;二是隐含于生活常识中,即初三学生的一般身高为1.6m,则可算出旗杆高度约为7m左右.这是一道设计新颖的估算题,重点考查学生提取有效信息、学以致用的能力.答案为B.
  例12 如图4甲所示,放在水平地面上的物体,受到方向不变的水平拉力F的作用,F的大小与时间t的关系如图乙所示,物体运动速度v与时间t的关系如图丙所示,由图像可知,当t=1s时,物体受到的摩擦力为 N,当t=5s时,物体受到的合力为 N.
  
  
  
  
  
  
  
  
  解析 本题一些重要的已知条件隐含于图中的两个图线中,t=1s时,由图丙可知物体速度为0,物体处于静止状态,拉力F与静摩擦力相等,且当t=1s时观察图乙拉力F=2N,当t=5s时,物体以2m/s的速度匀速运动,为此合力F+f=0.解此题时,学会观察图线至关重要,图线中蕴含着解题时需用的物理条件.这就要求在分析图线时勤思考、善挖掘,回顾所学的物理规律,分析图线中的有效信息,便可以得出已知量和未知量之间存在的关系,从而顺利地求出解答.
  例13 如图甲所示,小灯泡L1、L2的额定电压均为6V,A、B分别为L1和L2中的电流随两端电压变化关系的曲线.现将两灯连入图乙所示的电路中,使其中的一个灯泡正常发光,此时电路消耗的总功率为 W.
  解析 观察图5甲中的图线,可知L1、L2的额定电流分别为1.0A、0.5A;连入图乙中的串联电路时,满足“使其中的一个灯泡正常发光”时,实际电流只能为0.5A,再观察图甲,可得电流为0.5A时,灯L1两端的电压为2V,则电路的总功率为P总=IU总
  =0.5A×(6+2)V=4W.
  说明 本题的大部分条件都隐含于甲、乙两个图中,此外,“使其中的一个灯泡正常发光”这一说法意味着“使一个灯泡正常发光,另一个灯安全、不被烧坏”.本题的另一个特点是在平时的学习过程中,为了使问题得以简化,我们往往可以认为灯泡的电阻是不变化的,但是本题所给的电流随两端电压变化关系的曲线不是直线,就已表明灯泡的电阻是变化的,因此如果再死守“灯泡电阻不变”这一思维定势,否则会导致错误了.
  二、设置干扰条件,使已知呈现“过量”
  习题所提供的诸多条件中,往往并不都是解题所必需的,有些可能正是命题者有意设置的干扰条件,这就要求学生对相关物理概念、物理规律、科学方法有较为深刻而清晰的理解,在审题时能预先排除这些干扰条件,同时形成良好的解题习惯,避免乱套公式,防止落入命题者的“干扰陷井”.
  例14 质量为7.9kg的正方体铁块(密度为7.9×103kg/m3),置于0.8m2课桌的中央,其对桌面的压强是多少?
  解析 部分学生会将题中的“0.8m2”错误地当作压力的受力面积,并直接套用公式,从而得出
  p=■=■≈100Pa.
  其实,公式中的“S”应为受压力作用的面积,在此题中即为隐含于“质量为7.9kg的正方体铁块”中的铁块的底面积,其计算过程是
  铁块的体积
  V=■=■=10-3m3,
  则正方体铁块的边长a=0.1m,
  铁块的底面积S=0.01m2,
  桌面所受压强为
  p=■=■=7900Pa.
  例15 如图6所示,物体重为500N,拉绳子所需的力为50N,物体匀速向左移动了10m,若不计滑轮重和绳与滑轮间的摩擦,则物体与地面的摩擦力f= N,
  拉绳的力做的功是 J.
  
  
  
  
  解析 本题中的“物体重为500N”是一个干扰条件,因为水平拖动物体时,需要克服的是物体所受的摩擦力,而非物体的重力.如果学生照搬“竖直拉动物体”时的公式,不知随机应变,就会落入命题者设置的“干扰圈套”.答案为200N,2000J.
  说明 大多数题目的解答要求(如计算什么、判断什么)是明确的,但也有一些特殊情况,题目只提出了一个总的解答要求,至于如何达到这一总要求,则由学生自己决定计算什么、判断什么,提供什么证据.应该说与通常让学生“听令行事”般地解答相比,这类题目更容易考查出学生思维的全面性、深刻性和针对性.
  例16 下面表中列出了五种材料的比热容和密度,请你论证一下,选用什么材料生产煮水壶较为合适?
  
  
  
  
  解析 水壶是食用器具,必须保证水壶的材料无毒.铅有毒,不宜做炊具,可先排除.干泥土的热传导性能较差,且不易成型,因此也可排除.
  剩余三种材料可作如下理论论证:
  煮水时,水壶吸收的热量
  Q吸=cm(t-t0)=cmΔt,
  式中的质量可表示为m=ρV,
  因此水壶吸收的热量为Q吸=cρVΔt.
  当水壶壶身的体积V、烧水时水壶的温度变化Δt相同时,水壶吸收的热量与水壶材料的比热容和密度的乘积成正比.对铝、铜、铁三种材料cρ乘积的比较如下:
  
  
  
  显然,铝的cρ乘积值最小,升高相同的温度时吸热最少.所以用铝较合适.
  说明 本题的解答要求是论证“选用什么材料生产煮水壶较为合适”,至于怎么论证,提供什么“令人信服”的论证根据,则要由学生自己分析、判断后决定.通过分析,根据“水壶自身吸热应尽可能少”这一原则,最后发现要通过计算、比较各种材料的“c・ρ乘积大小”来进行选择.
  在明确题目提供的条件与所欲求解的答案后,如何寻求条件与答案间的有机联系,建立起二者间的联系通道,是演绎法应用的关键所在.条件与答案间的联系通道一般是所属物理现象、过程所遵循的规律性知识(物理的、数学的、形式逻辑的),或物理探究活动的程序性知识(过程的、方法的、行为逻辑的).因此,在熟悉并理解概念、规律和方法的前提下,迅速地辨别、归类题设现象、活动的要素之所属,应用相关的知识建立起条件与答案间的联系框架,再综合应用逻辑技能(分析、比较、推理等)和数学技能使“联系链条的各个环节、节点和路径”逐步精细化、清晰化,直到“已知”与“求解”间一条完整的、清晰的联系通道呈现在解题者的头脑中,这就是预设的解题思路.
  例17 天文观察表明:几乎所有远处的恒星(或星系)都在以各自的速度背离我们而运动,离我们越远的星体,背离我们运动的速度(称退行速度)越大,也就是说,宇宙在膨胀,不同星体的退行速度v和它们离我们的距离R成正比,即v=HR,式中H为一常量,称为哈勃常数,已由天文观察测定.根据近期观察,哈勃常数H=3×10(-2)米/(秒・光年)(注:光年为光在1年时间内传播的距离).为了解释上述现象,有人提出一种理论,认为宇宙是从一个大爆炸的火球开始形成,假设大爆炸后各星体即以不同速度向外匀速运动,并设想我们就位于其中,则速度越大的星体现在离我们越远,这一结果与上述天文观察是一致的.
  (1)“光年”是 的单位(选填“长度”“速度”或“时间”),将“光年”转化为国际单位,1光年= .使用“光年”作单位的好处是 .
  (2)由上述理论和观察结果可估算宇宙年龄T,其计算公式T= ,由此可估算宇宙的年龄为 年.
  解析 由题中“光年为光在1年时间内传播的距离,光在真空中的传播速度为3×108米/秒”可获知:光年实质上是一段距离,而且是一段很长的距离.
  s光年=vt=3×108m/s×365×24×3600s
  =9.5×1015m.
  本题是一道文字信息题,提供的信息新颖而纷繁,令人眼花缭乱,很容易使学生“迷失在信息的海洋中”.本题的关键就在于学生能否通过阅读、思考和想像,把题目中描述的“宇宙大爆炸”现象正确地进行归类,把相关的文字描述转化为我们易于理解的物理现象,进而求解.
  根据题中的文字描述,我们可想像出这样一个情景:众多的星系从同一个“点”以各不相同的速度同时向四周出发(爆炸),且各星系的速度保持原有速度一直不变,而我们处在原点不动,则速度越大的星系,现在就离我们越远.所以,题目中所谓的“大爆炸”其实就是一个“匀速运动”问题,其基本的规律就是s=vt.
  那么宇宙的寿命T(也就是从“大爆炸”到“现在”的时间)就等于某个星系从“出发”到“现在”的运动时间!也就等于某一星系目前离开我们的距离R与该星系速度v的比值.即
  T=■=■=■=■=■
  =■=3.16×1017s≈1010年.
  当然,在实际的解题过程中,学生有时会发现头脑中预设的解题思路并不完全可行,这就需要学生或调整思路、另觅蹊径,或运用技巧、巧妙通过……
  例18 如图7所示,当滑动变阻器的滑片P向右滑动时,电流表示数 ,电压表示数 .(选填“增大”“减小”或“不变”)
  
  
  
  
  
  
  解析 从电路图可看出,滑动变阻器R与R1串联,电流表测电路中的电流,电压表测变阻器R两端的电压.
  当R的滑片向右滑动时,连入电路R的阻值增大,从而导致串联电路的总电阻变大,再结合其他已知条件――电源电压不变,学生较容易地想到应用欧姆定律I
  =■,可以得知:电路中的电流即电流表示数将减小.
  对电压表的变化,学生一开始会遵循通常的解答思路:仍运用欧姆定律,可得R两端的电压等于UR=IR,可是他们随后会发现,公式中I减小,R变大,乘积UR大小的变化无法确定.此思路走不通!
  变换思路,判断电压表示数时也可采用如下的路径:R′与R串联,R连入电路的阻值增大时,I减小,而R1大小不变,故R1两端的电压UR1变小,U=UR+UR1,而电源电压U保持不变,所以UR增大.